二つの砂時計〜解答

連続した四分間を計測する最短手順は以下の通りで、はじめの状態から七分後に計測が終了する。

1. 両方ひっくり返す。
2. 三分計の砂が落ち切る。(三分経過)
3. 三分計をひっくり返す。(計測開始)
4. 五分計の砂が落ち切る。(二分経過)
5. 三分計をひっくり返す。
6. 三分計の砂が落ち切る。(二分経過)

ところが、連続していない四分間を計測するのであれば、これよりも短い解が存在する。

1. 両方ひっくり返す。
2. 三分計の砂が落ち切る。(三分経過)(三分間を計測)
3. 三分計をひっくり返す。
4. 五分計の砂が落ち切る。(二分経過)
5. 三分計の砂が落ち切る。(一分経過)(一分間を計測)

この場合、はじめの状態から六分後に計測が終了する。

グラフによる証明

このパズルの理解を助けるために、手順をグラフに表してみたのが下図である。

楕円の中の数字は、左が三分計の残り時間、右が五分計の残り時間を表している。

黒い両向きの矢印を辿る事は、砂時計をひっくり返す動作を意味し、時間はかからない。 赤い矢印を辿ると時間が経過する。ある時間を計測したい場合は、 経過時間の合計がそれと等しくなるような矢印の辿り方を見付けさえすれば、 そのとおりに砂時計を操作する事で計測できる。